Les hommes se sont longtemps émerveillés de la lueur captivante du diamant. Quelle est l’explication de cette étonnante beauté ? Le mathématicien Toshikazu Sunada explique dans un article de la revue Notices of the American Mathematical Society, que certains secrets de la beauté du diamant sont mis en lumière par une analyse mathématique de sa structure microscopique de cristal. Il s’avère que cette structure présente certaines propriétés spéciales, et, plus particulièrement des propriétés de symétrie.

L’on pourrait créer, note Sunada, un modèle mathématique idéalisé d’un cristal, en travaillant sur ses dispositifs principaux, à savoir les atomes et les liens entre ceux-ci. Les atomes y sont représentés par des points, appelés « sommets », et les liens sont représentés par des lignes, appelées « arêtes ». Le type de réseau constitué des sommets et d’arêtes est appelé « graphe ». Un cristal est construit en partant d’un graphe modulaire et en joignant ensemble des copies de celui-ci d’une manière périodique. Il y a ainsi deux modèles qui opèrent dans un cristal : le modèle des arêtes liant les sommets dans les graphes modulaires, modèle des liaisons entre atomes, et le modèle périodique liant des copies des graphes. Il est dès lors possible de créer des cristaux mathématiques à l’infini en faisant varier les graphes et la manière dont ils sont périodiquement joints.

Le cristal de diamant présente deux propriétés-clés qui le distinguent des autres cristaux. Le premier, appelé « symétrie maximale », concerne la symétrie de l’arrangement des graphes modulaires. Certains arrangements sont plus symétriques que d’autres, et si l’un débute avec un arrangement donné, l’on peut le déformer en maintenant la périodicité et les liaisons entre les atomes, pour le rendre plus symétrique. Dans le cas du cristal de diamant, il s’avère qu’aucune déformation de l’arrangement périodique ne peut le rendre plus symétrique qu’il n’est. Le diamant présente donc une symétrie maximale. N’importe quel cristal peut être déformé en un cristal de symétrie maximale, mais cette propriété, seule, n’est pas suffisante pour différencier le cristal de diamant.

Le diamant présente en effet une autre propriété spéciale, appelée « la propriété isotropique forte ». Cette propriété ressemble à la symétrie rotationnelle qui caractérise le cercle et la sphère : de quelque manière que l’on fasse tourner un cercle ou une sphère, ils ont toujours le même aspect. Le cristal de diamant présente une propriété similaire : observé à partir de la direction d’une arête ou de celle d’une autre, il présente toujours le même aspect.

Sunada fait remarquer que, de tous les cristaux qu’il est mathématiquement possible de construire, un seul partage avec ce diamant ces deux propriétés. Il l’a dénommé cristal K_4, parce qu’il est fait à partir d’un graphe appelé K_4, qui consiste en 4 points, dont n’importe lesquels de deux sommets considérés sont reliés par une arête. Le cristal K_4 n’est pas moins beau que le cristal de diamant, écrit Sunada. Il note qu’il n’existe pour l’heure qu’à l’état d’objet mathématique. Il est intéressant de se demander s’il est possible qu’il apparaisse dans la nature ou puisse être synthétisé, déclare-t-il. Sunada cite ici l’exemple du fullerène, dont la structure est celle d’un ballon de football, qui avait été mathématiquement identifié avant d’être trouvé, en 1990, dans la nature et dénommé molécule C_60.